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Quiero compartir con usted una sensación de frustración que me parece que es universal. Lea el caso que sigue y piense si se siente identificada/o o no. La escena sucede en un supermercado. Uno tiene ya decidido qué es lo que va a comprar y se dirige hacia el lugar en donde están ubicadas las cajas. Hay varias abiertas, pero también es cierto que en todas hay gente haciendo cola. ¿Cuál elegir? Uno hace –de apuro– una suerte de estimación mirando la cantidad de mercadería que hay dentro del carrito de cada “compañera/o de desgracia” y se inclina por uno. Igualmente, sigue atento a lo que sucede a su alrededor en el caso de que se “abra” algún espacio inesperado o que alguna cola fluya más rápido que la que uno eligió. Pero en cuanto empieza a aparecer más gente, la posibilidad de cambio es cada vez más remota. Y aquí comienza la frustración: uno, ya establecido en una cola que parece “no moverse nunca”, advierte con desesperación que las filas de al lado avanzan mucho más rápido. La cajera o el cajero que atiende nuestra cola es mucho más lento, atiende el teléfono, lo distraen sus compañeros, no sabe el precio de algún producto... etc, etc. Mientras tanto, la presión interna va creciendo en forma directamente proporcional al tiempo que uno permanece atascado en una situación que parece irreversible. ¿Por qué será que –en apariencia– las colas de al lado siempre se mueven más rápido que la que uno eligió?

Lo notable de este episodio es que no está solamente referido a colas en un supermercado. Si usted está manejando en una autopista, o si está haciendo la cola en un banco para pagar algún impuesto... o vuelve de un fin de semana largo y tiene que pagar el peaje... en fin, miles de situaciones de la vida cotidiana, sabe perfectamente a qué me refiero. Pero más allá de esta descripción brevísima de una de las frustraciones de la vida cotidiana, ¿qué tendrá esto que ver con la matemática?

En realidad, hay una rama de la matemática que se dedica al estudio de las colas. Sí, más allá de la sonrisa que intuyo le genera mi frase, hay gente especializada en estudiar cómo se puede hacer para minimizar el tiempo de espera y maximizar la eficiencia (de las cajeras, por ejemplo). La teoría de colas se usa en telecomunicaciones, en la organización del tráfico aéreo, en el diseño de parques temáticos (piense en Disneylandia, por ejemplo) o en cualquier área que involucre servicios en donde la demanda es aleatoria. Piense en la gente que hace cola para presenciar un River-Boca. Hay decenas de libros y miles de trabajos científicos que hacen aportes sobre la “teoría de colas” y se siguen publicando con una frecuencia cada vez mayor.

Lo esencial es analizar dos variables que son aleatorias (azarosas): por un lado, la cantidad de personas que reclamarán un servicio en un determinado momento y, por otro, el tiempo que involucra el proceso. Es obvio que no voy a poder hacer acá un desarrollo serio sobre el tema, pero sí quiero dar una idea de qué se trata. Sígame por acá.

Todos los métodos modernos para la optimización de redes tienen sus raíces en un trabajo hecho por Agner Krarup Erlang, un matemático danés que trabajaba en la Compañía de Teléfonos de Copenhagen a comienzos del siglo XX. Erlang fue el verdadero pionero en la especialidad. Su objetivo fue tratar de resolver el problema del diseño de una red de teléfonos. ¿Qué tiene que ver esto con las colas? Espere. El problema que Erlang abordó fue el de tratar de diseñar una red de teléfonos: ¿cuántas “redes troncales” se necesitan para una determinada cantidad de llamadas entre habitantes de un pueblo y otro? Hay que entender que a comienzos del siglo XX, para poder hablar por teléfono era imprescindible que hubiera una operadora que recibía en una “central” o “conmutador” el pedido de una persona que quería comunicarse con otra. Uno podría pensar el sistema de la siguiente forma: cada casa tenía un cable que la unía con la central telefónica. Cuando dos personas querían hablar entre sí, una de ellas llamaba a la central en donde una operadora recibía ese llamado y hacía un puente con el cable que unía la central con la casa de la otra persona.

Por supuesto, el sistema era increíblemente lento y hacía falta el uso de operadoras humanas (no sé bien por qué lo aclaro, pero por las dudas...) que hacían de intermediarias. Pero eso sucedía dentro de un pueblo o una ciudad. Cuando había que intercomunicar dos de estos pueblos, ¿cuántos troncos era necesario tender para dar un servicio razonable a una ciudad? No se puede poner solamente uno, porque eso implicaría demoras enormes por la cantidad de llamadas bloqueadas, pero tampoco se puede poner uno para cada teléfono (que sería el otro extremo) por lo costoso que significaría hacerlo y el desaprovechamiento que habría porque, ¿cuán baja será la probabilidad de que todos los usuarios necesitaran hacer llamadas entre dos pueblos al mismo tiempo?

La compañía de teléfonos necesitaba una suerte de acuerdo entre estos dos extremos: un solo cable para todos, o que cada persona/teléfono tuviera un cable asignado. Por otro lado, además del número de llamados simultáneo, hay que atender el otro factor: ¿cuánto tiempo dura cada llamada? Esto es un dato que hay que estimar también. Había gente que hablaba una hora por teléfono y otras que solo necesitaban un minuto. Es decir, el tiempo es un factor también.

Después de años de estudio, Erlang publicó un trabajo central: “Telephone Waiting Times” (“La espera para hablar por teléfono”). En él demostró que teniendo en cuenta el promedio de llamadas por hora y la longitud promedio de cada una, se podía estimar que con siete troncos sería suficiente atender las necesidades de la población. Puede que usted no lo recuerde, pero cuando yo nací (y crecí) los que tenían/teníamos el privilegio de tener un teléfono, para hablar a Berazategui (por ejemplo), tenían/teníamos que esperar horas hasta que la operadora estableciera la comunicación. Y yo, aunque lo parezca, no tengo 300 años. Sólo 64 –por ahora–. Erlang fue el primero en hacer estudios detallados sobre el tráfico telefónico y desarrolló las fórmulas pertinentes para optimizar los costos y el tiempo, a tal punto que en 1946, el Comité Internacional Consultivo de Teléfonos y Telégrafos (Ccitt por sus siglas en inglés) lo honraron poniendo su nombre (un “Erlang”) a la unidad básica que se usa para el tráfico telefónico.

Ahora, al supermercado: un cliente que llega hasta una caja registradora es como una llamada telefónica y una cajera que está libre es como segmento de una red troncal que está disponible. Para mantener las colas en movimiento, el supermercado necesita estimar el número de personas que llegan por hora y asignar suficientes cajeras de manera tal que todo el mundo será atendido en forma rápida. Pero Erlang demostró que esa es una receta que preanuncia un desastre. La gente no arriba en forma espaciada y en igual número por hora, sino en tandas o grupos. Por lo tanto, si un negocio tiene un número “correcto” de cajeras para atender el número promedio de clientes que llegan en una hora, va a tener igual muy pocas cajas disponibles o desocupadas a ciertas horas del día y eso se va a transformar en largas filas con la consiguiente frustración.

En ese caso, es mucho más conveniente tener una sola cola con todos los clientes que están en el negocio en ese momento, y a medida que se va de-socupando una caja, el primero de la fila será el primero en ser atendido. El problema con esta solución es la percepción que tiene cada uno de nosotros: cuando ve una cola con tamaña cantidad de gente, psicológicamente produce un impacto negativo, y uno no entiende emocionalmente lo que resulta obvio desde el punto de vista racional: si hay –digamos– diez colas esperando ser atendidos por diez cajeras, si se produce una demora en una de ellas, detiene a todos los componentes de esa fila. Si la misma demora se produce en el caso de una fila única, entonces, la cola se sigue moviendo en la medida que las otras cajas quedan disponibles. Dicho de otra forma: el problema en una caja afecta pero en forma diluida al resto de los clientes.

Y por último, en el caso de una autopista, por poner un ejemplo clásico. Suponga que tiene tres andariveles: A, B y C. Lo que suele pasar es que uno se siente atrapado en uno de ellos, y siempre sucede que uno ve que los de al lado se mueven más rápido. O se mueven, mientras uno está quieto. Pero, ¿es evitable esto? Piense conmigo por qué es esperable que esto suceda casi siempre. Voy a ordenar los tres andariveles de izquierda a derecha poniendo el más rápido en el extremo izquierdo y el más lento a la derecha. Por ejemplo, el ordenamiento BAC, significa que la fila B es la más rápida, la A es la del medio y la C es la más lenta. ¿Cuántos posibles ordenamientos hay? En total son seis: ABC, ACB, BAC, BCA, CAB y CBA. Si usted está, digamos en la fila B, de los seis posibles órdenes, ¿cuáles son los que tienen a B como el más rápido? Solamente dos: BAC y BCA. Por lo tanto, dos sobre seis (2/6) = (1/3). Solamente una tercera parte de las veces es más probable que usted esté en la fila más rápida. En los otros cuatro órdenes, hay una fila más rápida que la suya (y en algunos casos ¡las otras dos filas van más rápido que la suya!)

En todo caso, el problema pasa más por la percepción que por la realidad, o en todo caso, es “casi” inevitable que suceda. La probabilidad obra en contra nuestra.

Eso sí: diseñar autopistas con un número razonable de andariveles, estimar apropiadamente el número de cajeros que tiene que haber en un supermercado o en los puestos de peaje que tiene que haber abierto en momentos de mayor tránsito, controlar la red de semáforos en una ciudad para entender las variaciones de la densidad del flujo a distintas horas del día, prevenir el número de puertas que tienen que estar abiertas a la entrada y/o salida de un evento deportivo o de un recital o ... no sé... muchísimos ejemplos más que usted agregará convenientemente... todo esto, tiene que ver con la capacidad de previsión, estimación y análisis que los humanos tenemos a nuestra disposición. La matemática tiene mucho para decir. Luego, tenemos que optar por implementar las conclusiones que se obtengan, y esa... esa ya es otra historia.