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Hay un problema que circula hace siglos y que involucra a un rey y a un súbdito a quien el rey le quiere pagar por un favor que le hizo y lo invita a que le pida “cualquier cosa que quiera” que él lo va a satisfacer.

Es muy probable que usted haya escuchado hablar de esta historia o que la haya leído en alguna parte. Sin embargo, quiero proponerle reflexionar sobre algo que uno no siempre tiene en cuenta, y que muestra cuán “anti-intuitivos” nos resultan los “números grandes”. Pero primero vuelvo al rey y al hombre del pueblo para refrescar su memoria.

Ante semejante ofrecimiento por parte del rey, el súbdito piensa un rato y le propone lo siguiente. En principio se consigue un tablero de ajedrez (un cuadrado de ocho filas por ocho columnas, o sea, con 64 casillas) y le dice qué es lo que quiere: empezando por cualquiera de los extremos, quiere que el rey le provea el arroz suficiente como para ir duplicando en cada casilla la cantidad de granos de arroz que puso en la anterior. Es decir, empezando por un grano en la primera casilla, dos en la segunda, cuatro en la tercera, ocho en la cuarta, y así siguiendo hasta llegar a completar todo el tablero.

Ahora tengo una pregunta para usted: ¿cuántos granos de arroz cree usted que habrá al finalizar este proceso? Se advierte que habrá muchos granos, sí, pero ¿cuántos? No le propongo que haga un cálculo exacto sino que trate de estimar ese número. Más aún: si me permite sugerirle algo, no avance en la lectura si no ha hecho ningún esfuerzo por imaginar cuántos granos habrá. Créame que vale la pena tratar de hacer la estimación como para poder capturar aunque sea mentalmente cuán grande es este número.

Una ayuda: cuando el proceso llega a la mitad, es decir cuando se lleven cubiertas 32 de las 64 casillas (las primeras cuatro filas), en ese momento ya hay casi 4300 (cuatro mil trescientos) millones de granos. Si uno los pusiera sobre una balanza, significarían algo así como 100 mil kilos o el peso de unas 170 vacas.

Pero avancemos un paso más: al finalizar el proceso, al cubrir las 64 casillas, ¿cuántos granos habrá? ¿De qué orden de magnitud?

Voy a escribir acá abajo el número. Léalo en voz alta (aunque yo no esté con usted mientras lo hace):

18.446.744.073.709.551.615

Voy a escribir acá abajo el texto de lo que supongo que usted leyó:

“Dieciocho trillones, cuatrocientos cuarenta y seis mil setecientos cuarenta y cuatro billones, setenta y tres mil setecientos nueve millones, quinientos cincuenta y un mil seiscientos quince...” (Parece un trabalenguas, ¿no?).

Igual que antes: por más que uno lo lea, el número es tan desorbitantemente grande que uno no tiene noción del tamaño. Es por eso que viene bien usar alguna analogía con algo que sí nos sea representativo.

Bien, en ese caso, la cantidad de arroz que habría en el tablero sería equivalente a ¡mil veces la producción mundial de arroz del año 2012!

De nuevo: ¡mil veces la producción mundial de arroz de todo un año (2012)!

¿Será útil pensarlo de esta forma para entender la magnitud de la que estamos hablando? Y por otro lado, ¿advierte usted lo que significa el crecimiento exponencial? Es decir, este tipo de procesos, en donde en cada paso que da uno duplica la cantidad que había, es un ejemplo de lo que usted debe haber escuchado muchas veces y se conoce con el nombre de crecimiento exponencial. Para correrme un poco del ejemplo clásico de los granos de arroz, quiero invitarla/invitarlo a avanzar un paso más.

Suponga que usted tiene una botella cualquiera. No importa tanto el tamaño que tenga pero piense que adentro de ella hay bacterias. Esas bacterias tienen una particularidad: se reproducen muy rápidamente y de acuerdo con las mediciones, la cantidad se duplica una vez por minuto. Los científicos observaron que a las 11 de la mañana había una sola bacteria, a las 11.01 había dos bacterias, a las 11.02 había cuatro, a las 11.03 había ocho, y así siguiendo. Lo curioso (y notable al mismo tiempo) es que la botella se llenó de bacterias exactamente a las 12 del mediodía: no cabía ninguna más.

Algunas preguntas.

a) Sabemos entonces que a las 12 del mediodía la botella se completó. ¿A qué hora la botella estaba por la mitad?

b) ¿Y a qué hora había bacterias que alcanzaban a cubrir una cuarta parte de la botella?

Las respuestas están acá abajo, pero le sugiero que no las lea antes de dedicarle algunos minutos a pensar la respuesta.

Ahora sigo yo. Fíjese lo que pasa yendo hacia atrás en el tiempo. Si a las 12 la botella se llenó y las bacterias se duplican una vez por minuto, eso quiere decir que a las 11.59 (un minuto antes del mediodía), la botella tenía que estar llena hasta la mitad. Es que justamente en el momento que se dupliquen completarán la botella. De la misma forma, dos minutos antes del mediodía, la botella tenía que estar llena hasta solamente un cuarto de su capacidad.

Y ahora, un dato que creo aún más impactante: cinco minutos antes del mediodía, a las 11.55 de la mañana, la botella parecía virtualmente vacía. Si usted hace las cuentas verá que la botella tenía bacterias que alcanzaban a ocupar apenas un 3 por ciento de su capacidad (1)... casi nada.

Una pausa. ¿Por qué escribí todo esto, además del dato que supongo que es antiintuitivo? ¿Hay alguna conclusión que usted está tentada/tentado en sacar?

Si uno hubiera estado dentro de la botella (e imaginándose “bacteria”), a las 12 menos cinco vería que está virtualmente vacía, con muchísimo espacio para movilizarse. ¿Quién podría imaginar que cinco minutos después explotaría todo?

Ahora traslade esta situación a la vida en la Tierra. Está claro que –por ahora– hay lugar para todos, y para aquellos que vayan naciendo también. No se me escapa que la población de la Tierra no se duplica tan fácilmente (ni mucho menos). De hecho, ahora (año 2014) somos un poco más de 7 mil millones de habitantes. Acompáñeme rápido por estos números: llegamos a superar los mil millones alrededor del año 1804. Tuvieron que pasar más de 123 años (más de un siglo y un cuarto) para llegar a dos mil millones (en 1927). Pero hicieron falta nada más que 33 años para llegar a los tres mil millones en 1960. Desde aquí avanzamos mucho más apurados: cuatro mil millones en 1974, cinco mil millones en 1987, seis mil millones en 1999 y siete mil millones en marzo del 2012.

Puede que los números no sean exactos, pero a esta altura creo que no es lo más importante. Lo que sí me parece que vale la pena es detenerse un instante para pensar lo que significan estos tipos de crecimientos, aunque no sea exactamente duplicarse una vez por minuto. En vista del ejemplo de las bacterias, convendría tener un ojo atento a lo que sucede con las tasas de crecimiento, porque si no, podríamos estar como las bacterias a las 12 menos cinco: por ahora no pasa nada, pero en cinco “minutos”, podemos quedarnos sin espacio habitable en la Tierra.

¿Será por eso que ahora el crecimiento poblacional se ha desacelerado?

(1) Para ser exactos, está cubierta un 1/32 de la botella.