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El joven entra en el casino. Lleva $1000 (mil) pesos para jugar. Un amigo le dice que tiene una propuesta para hacerle.

En lugar de jugar a la ruleta, a punto y banca o al black jack, le ofrece el siguiente acuerdo: tirar una moneda 100 veces. Cada vez que lo hace, tiene que arriesgar la mitad del dinero que tiene. Si acierta, gana la cantidad que apostó. Si pierde, lo mismo.

Por ejemplo, al empezar a jugar, tiene que apostar $500 porque es la mitad del dinero que tiene. Si gana, tiene ahora $1500. En cambio, si pierde, se queda con $500.

Si gana primero y pierde después, pasa a tener $750 (¿por qué?). Es que si acierta en la primera tirada, como apostó $500 (de los $1000 que traía) pasa a tener $1500. Pero como pierde en la segunda tirada, y tuvo que haber apostado $750 (que es la mitad de los $1500 que tenía), pasa a tener:

1500-750 = 750

¿Y si pierde en la primera tirada y gana en la segunda? ¿Hay alguna diferencia? Veamos: si pierde en la primera, como apostó $500 y tenía $1000, se queda con $500. Sabemos que gana con la siguiente apuesta, pero como arriesga sólo la mitad de lo que tiene, eso significa que ganó $250.

En total, tiene ahora (otra vez) $750.

Uno tiene derecho a sospechar entonces (aunque deberá comprobarlo) que es “indiferente” que gane primero y pierda después, o que pierda primero y gane después. ¿Será así? ¿No le dan ganas de pensarlo a usted?

Sigo yo. En realidad, quiero proponerle lo siguiente, que sitúa el problema en otro lugar. Cada vez que gana, “agrega” al dinero que tenía una mitad más.

Esto es equivalente a decir que si tenía (digamos) X pesos, ahora pasa a tener X más la mitad de X. Es decir:

X + (1/2) X

O sea, ahora tiene (3/2) de X:

(X+(1/2)X) = (3/2)X

Es posible pensar entonces que cada vez que gana, “multiplica” la cantidad que tenía por el número (3/2).

De la misma forma, cada vez que pierde pasa a tener:

X (1/2) X = (1/2)X

O sea, si pierde, es como si multiplicara el dinero que tenía por (1/2).

Por lo tanto, ganar primero y perder después significa multiplicar primero por (3/2) y luego por (1/2). Si su suerte es exactamente al revés, y pierde primero y gana después, es como multiplicar primero por (1/2) y luego, al resultado, multiplicarlo por (3/2). Obviamente, obtiene lo mismo.[1]

¿Qué se deduce de todo esto? Que si tirara la moneda muchas veces, para saber cuánto dinero va a tener al final, todo lo que tiene que hacer es multiplicar el dinero que trajo por (3/2) tantas veces como acertó, y multiplicar por (1/2) tantas veces como perdió.

Por ejemplo, si tiraron la moneda 5 veces y ganó 4 y perdió 1, entonces, lo que tiene que hacer es:

(3/2) * (3/2) * (3/2) * (3/2) * (1/2) = 81/32 y este número (81/32), es aproximadamente igual a 2,53. Por lo tanto, si tiene la suerte de ganar cuatro veces de las cinco que tiraron la moneda, se iría “ganador” con más de dos veces y media el capital que traía (más de $ 2530).

Ahora, tengo algunas preguntas para hacer. Acá van:

1) Si el amigo le dice que van a tirar la moneda 10 veces y que el que trajo el dinero va a ganar 7 de las 10 veces, ¿le conviene aceptar?

2) ¿Y si de las 10 va a ganar 6, acepta o no acepta?

3) Más aún: si tiran la moneda 100 veces y el que lleva el dinero va a ganar 55 y pierde 45, ¿acepta o no acepta?

Ahora es el momento en el que yo me retiro (hasta el lugar en donde figuran las respuestas). Nos encontramos allí después.

Respuesta

Cada vez que el señor “acierta” con el resultado (cara o ceca), multiplica su capital por (3/2). Cada vez que “pierde”, divide su capital por la mitad, o sea, es como si lo multiplicara por (1/2).

Se trata entonces de contar cuántas veces acertó y cuántas erró.

Si de las 10 veces acierta 6 y yerra 4, lo que uno tiene que calcular es:

(3/2) * (3/2) * (3/2) * (3/2) * (3/2) *(3/2) = (3/2)6 = 11,39 (aproximadamente)

y por otro lado,

(1/2) * (1/2) * (1/2) * (1/2) = (1/2)4 = 0,0625 (aproximadamente también).

Luego de multiplicar estos dos números entre sí (que sería el equivalente de haber arrojado la moneda 10 veces, con 6 resultados a favor y 4 en contra), se trata de averiguar si el número es mayor que 1 o no.

Si es mayor que 1, eso significa que el señor saldrá ganando después de haber apostado las 10 veces. En cambio, si el número por el que va a terminar multiplicando su capital es menor que 1, entonces, el señor saldrá con menos dinero del que ingresó.

En este caso, lo que hay que hacer entonces es multiplicar (3/2)6 * (1/2)4 = (11,39) * (0,0625) = 0,71191

En consecuencia, si gana 6 y pierde 4, terminará perdiendo dinero, ya que habrá multiplicado su capital por 0,71191.

En cambio si gana 7 y pierde 3, hay que calcular:

(3/2)7 * (3/2)3 = 2135 [2]

Luego, en ese caso, el señor se iría del casino con más del doble del dinero que con el que ingresó.

Paso a la última pregunta entonces.

Si arrojaran la moneda 100 veces y el que lleva el dinero gana 55 veces y pierde las restantes 45, entonces el resultado es sorprendente. Al menos, lo fue para mí (¿lo intentó hacer usted por su cuenta? Hágalo, vale la pena).

La cuenta que uno debe hacer es:

(3/2)55 * (1/2)45 = 0,000137616

Es decir, que si jugaran 100 veces, y el señor que apuesta hubiera ganado 55 de las 100 tiradas, al finalizar el proceso tendría casi una diezmilésima parte de lo que traía, o sea, un poco más de 10 centavos (más precisamente 13,76 centavos). Tenga en cuenta que ¡había empezado con $1000!

Lo curioso (y antintuitivo además) es que si uno hace las cuentas adecuadas[3], quien apuesta necesita acertar por lo menos ¡64 veces de las 100! para irse ganando (sólo puede errar 36 veces) y aun así le alcanzaría sólo para multiplicar su capital inicial por 2,7 (casi triplicar lo que llevó). Y si perdiera una más, 37 en total, se iría del casino con $900, o sea perdería $100 de los mil con los que entró.

Moraleja: con esas reglas, no le conviene jugar. Arriesga mucho, gana muy poco. ¿No parecía tan obvio al principio, no?

[1] ¿No creció usted escuchando que el orden de los factores no afecta el producto? Bueno, acá se aplica.

[2] Todos los resultados que figuran son aproximaciones a dos o tres decimales.

[3] El primer “quiebre” se produce cuando la cantidad de aciertos es de 63 y de desaciertos es 37. Sin embargo, sin recurrir a una computadora y tener que revisar todos los números, la manera de resolverlo es plantear que uno quiere encontrar el número “n”, tal que

(3/2)n . (1/2) (100n) > 1.

Y para calcular este número n, uno calcula el logaritmo de los números involucrados, y lo que tiene que descubrir, es cuál es el “n” que resuelve esta ecuación:

ln((3/2)n. (1/2) (100n) ) = n.ln(3/2) + (100n).ln(1/2) (*)

Lo que uno quiere es ver cuándo este número es mayor que el ln(1) = 0. O sea, se trata de calcular cuál es el “primer” número natural n que hace que el número (*) sea positivo.

En ese caso n.ln(3/2) + (100n).ln(1/2) = n.(ln(3)ln(2))+(100n)(ln(1)ln(2)) , y usando que ln(3) = 1,0986 , ln (2) = 0.6931) y ln (1) = 0 , se tiene:

n.(1,0986) 100 (0,6931) > 0 si y sólo si

n > 100. (0,6931)/(1,0986) = 63,09

En consecuencia hace falta que el apostador acierte por lo menos 64 veces para poder irse del juego ganando dinero.