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Este es un problema precioso porque pone a prueba nuestra capacidad para intuir, nuestra percepción. Voy a suponer que usted ha jugado alguna vez en su vida a las cartas (naipes). Para simplificar, voy a apelar a las cartas españolas, pero el problema se puede trasladar a naipes de cualquier tipo.

Como usted sabe, hay cuatro palos posibles: oro, espada, basto y copa. Elijamos las cartas que son nada más que de oro y de espada. Es decir, nos quedamos con 20 cartas (del 1 al 12 –rey–, excluyendo los ochos y los nueves, como si estuviéramos por jugar a la escoba de quince o al truco).

Mezclamos las cartas y retiramos tres cualesquiera. Usted, ¿qué cree que pasa? ¿Es más probable que entre las tres cartas haya una figura (rey, caballo o sota) o que no la haya?

Antes de avanzar e incluso de pensar en la solución, le propongo que reflexione sobre lo que usted cree que es más probable: ¿habrá una figura o no? Más aún: cualquiera sea su intuición, ¿habrá mucha diferencia entre una posibilidad y la otra? (que haya una figura o que no la haya).

Ahora sí, la/lo dejo con usted misma/mismo.

Solución

Recuerdo aquí cómo se calcula la probabilidad de que se produzca un determinado evento. Se hace la división entre los casos favorables sobre los casos posibles. De esa forma, la probabilidad de que al tirar una moneda salga cara es 1/2, porque los casos favorables son uno solo (que salga cara) y los posibles son dos (cara o ceca). Con igual razonamiento, la probabilidad de que salga un cuatro al tirar un dado es 1/6, porque hay un solo caso favorable (que salga el cuatro) y los casos posibles son seis.

Dicho esto, para intentar encontrar la respuesta, voy a tratar de calcular la probabilidad de que al sacar tres cartas cualesquiera no haya ninguna figura.

Los casos posibles son todos los grupos de tres cartas diferentes que uno pueda armar con las 20 cartas.

Por otro lado, los casos favorables son aquellos grupos de tres cartas en donde no haya ninguna figura, es decir, son las combinaciones de tres cartas elegidas entre las 14 que no son figuras.

Voy a empezar calculando los casos posibles.

Suponga que usted tiene tres lugares vacíos en donde va a poner tres cartas cualesquiera. ¿Cuántas alternativas tiene para la primera carta? En total, 20. Una vez que usted eligió la primera carta, para la segunda le quedan 19 posibilidades. Luego, para las dos primeras cartas hay 20 x 19 = 380 formas de elegirlas.

Para la tercera carta, nos quedan 18 alternativas. Es decir, para elegir tres cartas cualesquiera, hay 20 x 19 x 18 = 6840 posibilidades.

Calculemos ahora los casos favorables. Ahora no hay 20 cartas para elegir, sino nada más que 14.

Para la primera carta hay 14 posibilidades, para la segunda 13 (ya que una queda eliminada porque “va primera”), y para la tercera quedan 12.

En total se tienen entonces:

14 x 13 x 12 = 2184

Y ya estamos a punto de terminar. La probabilidad de que no salga ninguna figura entonces se calcula dividiendo los casos favorables sobre los posibles, o sea,

2184 / 6840 = 0,31929... (aproximadamente igual a 0,32).

Esto sería equivalente a decir que casi un 32% de las veces no sale una figura entre las tres cartas. Para calcular la probabilidad de que sí salga una figura entonces, es más del 68% (se obtiene restando 100% - 32% = 68%).

O sea, la probabilidad de que sí salga una figura es de 0,68070....

Fíjese que es un hecho notable y no tengo claro que uno tenga esa percepción cuando juega a las cartas: si uno elige tres cartas cualesquiera (de dos palos nada más), la probabilidad de que salga una figura es de casi del 70 por ciento. 1)

¿No le parece sorprendente a usted también?

Antes de terminar, me imagino que usted debe estar preguntándose: ¿y en el caso de tener el mazo completo (con las 40 cartas)? ¿Qué pasa allí? Si uno extrae tres cartas al azar, ¿cuál es la probabilidad ahora de que salga una figura?... ¿Quiere pensar usted?

Sigo yo. Igual que antes, ahora se tienen 40 cartas porque excluimos los ochos y los nueves y consideramos los cuatro palos: oro, espada, basto y copa, aunque como usted habrá advertido, los palos no tienen ninguna incidencia en el análisis que estuvimos

haciendo.

Empecemos por calcular la probabilidad de que no salga ninguna figura. Para eso, quiero calcular los casos favorables y luego dividir ese número por los casos posibles.

Los casos favorables cambiaron porque ahora hay 12 figuras entre las 40 cartas (tres por palo). Como quiero que ninguna de las tres que voy a extraer sea una de ellas, necesito que surjan de las 28 que quedan: 40–12 = 28.

Por lo tanto, los casos favorables (que ninguna de las tres cartas sea una figura) se calculan así:

28 x 27 x 26 = 19.656.

Al igual que como hicimos en el caso anterior cuando teníamos 20 cartas, ahora quiero calcular cuántas formas posibles hay de extraer tres cartas entre las 40 del mazo. La cuenta que hay que hacer es ésta:

40 x 39 x 38 = 59.280

Al dividir

Favorables/Posibles

= 19.656/59.280=0.3315789474...

Es decir, al extraer tres cartas al azar, en más de un 33,15% de los casos no saldrá una figura. Esto permite afirmar entonces que la probabilidad de que sí salga una figura es (aproximadamente):

1– 0,3315789474...=0,6684210526....

En términos de porcentajes, podemos afirmar que, al extraer tres cartas al azar de un mazo de 40 naipes, la probabilidad de que entre las tres haya una figura es de casi un 67 por ciento.

Esto concluye la idea que quería compartir con usted cuando propuse el problema: intuitivo o no, cuando uno recibe tres cartas elegidas entre 20 o 40 naipes españoles es mucho más probable que entre las tres haya una figura que que no la haya. Como escribí más arriba, es un dato que, a mí, me parece sorprendente.

1) Nota: para aquellos que saben un poco más de combinatoria, seguramente tienen la tentación de decir que hace falta dividir por 3! = 6, ya que para hacer el cálculo no importa el orden en el que uno tiene las cartas en la mano. Esto es bien cierto, por lo que habría que dividir –efectivamente– por seis. Sin embargo, como también hay que dividir por 3! = 6 los casos favorables, entonces se transforma en innecesario hacer esa división.