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Volvíamos de San Juan muy tarde, de noche. Cansados, llegamos al aeropuerto. Mientras hacíamos la cola para embarcar, una joven se me acercó y me dijo si podía hacer una pregunta sobre un juego que estaban diseñando con algunas amigas. Le dije que sí, pero que no me comprometía a poder pensar nada en el avión después de una jornada de 15 horas, pero que me contara el problema y vería si se me ocurría algo.

Joana me hizo el siguiente planteo, del cual usted recibirá una versión abreviada y adaptada porque el juego no está terminado, por lo tanto no está patentado y, además, es solamente un eslabón muy menor de todo lo que ella y, sus amigos fueron programando. Pero más allá de todo lo que rodea el diseño, hay un punto en donde Joana necesitaba poder contestar una pregunta. En todo caso, mi satisfacción fue convencerla de que ella estaba en condiciones de encontrarle la respuesta sin la necesidad de ayuda de terceros. Y esto fue lo que pasó.

Suponga que usted tiene dos ruedas dentadas, como si fueran dos engranajes. Cada una de ellas tiene cien dientes. Estos dientes están pintados de dos colores: blanco y negro, pero con la restricción de que haya 50 de cada color (en cada rueda). La distribución de los colores es al azar y la única regla a respetar es que haya la misma cantidad en cada rueda.

Las ruedas son iguales, en el sentido de que son físicamente indistinguibles, salvo por la distribución de los colores. De esa forma, cuando uno apoya una arriba de la otra, los cien dientes coinciden. Por supuesto, no hay ninguna razón que obligue a que haya siquiera un par de dientes cuyos colores coincidan. Sin embargo, Joana necesitaba que sucediera algo curioso y que pareciera falso o antiintuitivo.

¿Será verdad que sea cual fuere la distribución de los colores, haya siempre una forma de rotar una de las ruedas de manera tal que cuando la apoya arriba de la otra hay por lo menos 50 dientes que tienen el mismo color en las dos ruedas?

Me apuro a decir que la respuesta es que sí: sucede siempre, independientemente de cómo usted pinte o haya pintado las dos ruedas. ¿Por qué? Ahora... ahora le toca a usted.

Idea para la solución

No sé si hace falta que escriba que la solución no se nos ocurrió en el avión (ni mucho menos), pero cuando Joana me escribió que habían descubierto la respuesta, ella y sus amigas, sentí una gran alegría porque todo lo que les hacía falta era el empuje para superar un escollo mental más que verdadero. Y ésta fue la respuesta que encontraron.

Si usted le dedicó tiempo, quizá la idea que usted encontró para convencerse difiere de la de ellas, pero en definitiva, ¡qué importa! Acá va.

Ellas diseñaron este procedimiento. Acompáñeme por acá. En principio, voy a empezar colocando una rueda encima de la otra de manera tal que coincidan los cien dientes. La rueda de abajo quedará fija; en cambio, a la de arriba, la voy a hacer rotar una vez que vaya tomando nota de un número que me importa. Fíjese que cada vez que usted apoya las dos ruedas, hay un número de dientes que tienen el mismo color (arriba y abajo). Puede que haya alguna situación en donde no haya ninguna coincidencia, y en ese caso, la respuesta va a ser ¡cero!

Al número de coincidencias que se produce la primera vez que apoyo las dos ruedas lo voy a llamar C1 (no se asuste con los nombres: es sólo para ponernos de acuerdo en la terminología; uso la letra C para que marque que son las ‘coincidencias’ y el número uno, porque es la primera posición en la que apoyo una sobre la otra).

Lo que importa entonces es que este número C1 mide el número total de coincidencias entre los colores de las dos ruedas. Lo anoto y sigo.

Ahora, hago girar la rueda de arriba hasta que vuelvan a coincidir los dientes. Cuento de nuevo. A ese número lo voy a llamar C2.

Y así sigo y voy anotando: C3, C4, C5,... C97, C98, C99 y C100. Acá, paro. ¿Por qué?

Acá paro porque si hiciera rotar la rueda de arriba una vez más, sería la vez ciento una, y entonces llegaría nuevamente a la posición “inicial”, o de “partida”. Ese particular número de coincidencias ya lo conté antes y lo llamé C1.

Con este procedimiento hemos generado cien números, desde el C1 hasta el C100. Mi objetivo es probar que al menos uno de estos números es mayor o igual que 50.

Hagamos una pausa y quiero invitarla/lo a contar de otra forma las coincidencias que se van produciendo al rotar la rueda de arriba.

Como antes, empiezo superponiendo ambas ruedas. La de abajo quedará fija y la de arriba, la voy a hacer rotar de manera tal que los dientes se superpongan. Pero ahora, voy a contar las coincidencias de otra manera.

Elijamos juntos cualquiera de los dientes de la rueda de abajo. No importa cuál, uno cualquiera. Al apoyar la de arriba sobre la de abajo, puede que arriba de este diente particular haya quedado un diente (de la rueda de arriba) que sea del mismo color (o no). Pero de lo que sí estamos seguros es que como el diente de abajo está fijo y yo hago rotar la rueda de arriba, habrá exactamente 50 coincidencias cuando haya hecho las 100 rotaciones. Es que sabemos desde el comienzo que las dos ruedas tienen 50 dientes blancos y 50 negros. Luego, al recorrer todas las posibles rotaciones (que son 100) voy a encontrar que se aparean bien en 50 de las 100 veces.

Pero por otro lado, lo mismo va a pasar con los otros 100 dientes de la rueda de abajo. Si hubiera elegido otro diente de abajo, también habría 50 veces en las que coincidiría con el diente “que le toque arriba”.

Es decir: cuando haya recorrido las 100 rotaciones con la rueda de arriba, cada diente de la rueda de abajo se apareó correctamente (en cuanto al color) 50 veces. Como en total son 100 dientes y hay 50 coincidencias por diente, entonces en total hay

50 x 100 = 5000 (**)

coincidencias. ¿Me siguió? Es importante que revise mis argumentos porque estamos a punto de terminar y necesito que no se pierda. Lo que hemos comprobado juntos es que en el proceso de dejar una rueda quieta (la de abajo) y hacer rotar la de arriba 100 veces, en total hay 5000 coincidencias.

Ahora vuelvo para atrás en el texto y la/lo invito a que usted haga lo mismo. ¿Recuerda lo que eran los números C1, C2, C3..., C99, C100? Eran los que contaban el número de coincidencias que había cada vez que apoyaba las dos ruedas. Lo que hemos hecho en (**) es comprobar que si sumo todos los números

C1 + C2 + C3 + C4 + ... + C97 + C98 + C99 + C100

este número es igual a 5000. ¿Y por qué es tan importante esto? ¿Quiere terminar el problema usted?

Es que hemos deducido que

C1 + C2 + C3 + C4 + ... + C97 + C98 + C99 + C100 = 5000

¿Qué se deduce de esto? Si la suma de estos cien números es igual a 5000, entonces ¡no puede ser que todos sean menores estrictos de 50! Si así fuere, si todos fueran menores estrictos que 50, la suma ¡no podría llegar a 5000!

Moraleja: alguno de los “numeritos” tiene que ser mayor o igual que 50... y eso es exactamente lo que queríamos comprobar.

En alguna de las posiciones que pongamos una rueda arriba de la otra, o mejor dicho, en por lo menos una de las posiciones en las que hagamos coincidir las dos ruedas, tiene que haber 50 coincidencias... o más.

¿No es bonito? ¿No es notable también cómo uno puede responder la pregunta sin tener que intentar con todas las posibles formas de colorear las dos ruedas?

Bien, de esto se trata la matemática también: de encontrar razonamientos que no requieran de la fuerza bruta, sino de una forma “creativa” de modelar un problema. De ahí mi entusiasmo... ¡y ni hablar del de ellas!