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Un rey convoca a los tres “lógicos” de su pueblo y les dice que necesita un nuevo primer ministro que lo ayude a pensar.

Le coloca un sombrero a cada uno, de manera tal de que (como es esperable) todos pueden ver el sombrero de todos los demás menos el propio.

Cada sombrero es de color blanco o azul.

El rey les garantiza que al menos uno de los sombreros va a ser azul...

o sea, o bien habrá uno azul, o dos azules o tres azules, pero seguro que no pueden ser los tres blancos.

Empieza a correr un reloj y cuando se llegue al minuto, el que sepa su color de sombrero debe decirlo y explicar cómo lo supo.

Si al minuto de empezar el juego, ninguno dice el color de sombrero que tiene, correrá otro minuto. En ese momento, cuando se llegue a los dos minutos, el rey volverá a preguntar si alguien sabe ahora qué color de sombrero tiene... y así siguiendo, una vez por minuto. Esas son las reglas.

Le propongo imaginar tres situaciones:

1) En la primera, luego de que pasa un determinado tiempo, uno de los participantes se levanta y dice el color de sombrero que tiene.

2) En la segunda, otra vez, después de esperar un rato, son dos los participantes que se levantan y dicen su color de sombrero en forma correcta.

3) Y la última es cuando –después de esperar un rato– los tres se levantan al mismo tiempo y anuncian su color de sombrero acertadamente. ¿Puede usted explicar qué tipo de distribución había hecho el rey en cada situación y cuánto tiempo hubo que esperar en cada caso?

Solución

Supongamos que usted es uno de los participantes. Empieza el juego y usted mira a las otras dos personas. Pueden pasar tres cosas:

a) usted ve dos sombreros blancos;

b) usted ve uno blanco y uno azul;

c) usted ve dos azules;

Analicemos juntos cada caso

a) si usted ve dos sombreros blancos, como el rey dijo que al menos uno va a ser azul, entonces, al cumplirse el minuto usted se levanta y dice que tiene color azul. No hay otra alternativa: uno de los tres tiene que ser azul. Si usted ve que los otros dos tienen color blanco, no queda más remedio que usted sea el que usa el sombrero azul. Esto explica la primera situación planteada en el problema original: se levanta una sola persona (en este caso usted) y eso sucede después de haber recorrido el primer minuto.

b) si usted ve un sombrero azul y uno blanco, entonces, en principio no puede decidir qué tiene. Cuando se cumple el primer minuto, usted espera saber qué es lo que hacen los otros. Claramente usted no está en condiciones de decir nada, pero, si la persona que tiene el sombrero azul estuviera viendo que usted tiene un sombrero blanco... como el otro también tiene un sombrero blanco, esa persona tendría que decir: “Yo sé lo que tengo: ¡es azul!”.

Luego, pasado el minuto, o bien la persona que tiene el sombrero azul dice que tiene azul y se termina el juego, o bien, no dice nadie nada. Si así fuere, entonces usted sabe que cuando se cumplan los dos minutos, usted va a poder decir con seguridad que tiene un sombrero azul. Por supuesto, con la misma lógica que usted, la otra persona que tiene el sombrero azul verá desde el principio que hay uno que tiene azul y otro blanco... y por lo tanto se levantará también sabiendo lo que tiene. O sea, en este caso, habrá dos de los participantes (usted y otro) que sabrán qué color de sombrero tienen, siempre y cuando tengan la paciencia de esperar dos minutos. Esta distribución de sombreros explica la segunda situación planteada en el problema original: se levantan dos de los participantes y para que esto suceda tuvieron que pasar exactamente dos minutos.

c) Si usted ahora viera que las otras dos personas tienen sombreros azules, usted, igual que antes, no podrá decir nada en el primer minuto, ¡seguro!

Sin embargo, si su sombrero fuera blanco, los otros dos participantes estarían en las condiciones del paso anterior (o sea, en “b”). Entonces, al pasar el primer minuto, seguro que nadie puede decir nada, pero al cumplirse el segundo minuto, seguro que los dos tendrían que decir que tienen sombrero azul.

Si también pasa el segundo minuto y nadie pudo decir lo que tenía, entonces, inexorablemente al cumplirse el tercer minuto, los tres sabrían qué color de sombrero tienen: ¡todos azules! Y este caso contempla la tercera situación planteada más arriba, ya que es la única posibilidad para que se levanten los tres, y eso sucedió después de que hubiera transcurrido el tercer minuto.

Nota final

Estoy seguro de que problemas de este tipo no se van a cruzar nunca en su camino: ya no es más época ni de reyes, de primeros ministros nombrados “a dedo”, y quizá, ni siquiera de sombreros.

¿Por qué habría de escribir este caso? Porque la vida cotidiana plantea casi a diario situaciones en donde uno necesita hacer un análisis fino sobre lo que pueden estar pensando las personas que nos rodean, imaginar y entender las decisiones que podrían tomar y, por lo tanto, afectar las nuestras. Ni más ni menos que eso. No es poco.

Explorar distintas estrategias, leer lo que hacen –o podrían hacer– los otros, entender la lógica que podrían estar usando, también es hacer matemática. Por eso lo incluí acá.

Ah, y porque es divertido también, ¿no?