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El siguiente problema fue seleccionado por Martin Gardner* como uno de los que más le gustó por su sencillez y profundidad. Después de leerlo y eventualmente resolverlo, seguro que le van a quedar algunas reflexiones, pero la más importante tendría que ser: ¿cuántas veces en la vida cotidiana creemos estar ante un problema que o bien no tiene solución o bien creemos que nos faltan datos para resolverlo?

Bien. Este es un magnífico ejemplo para poner a prueba no el ingenio (cuya definición me resulta muy resbaladiza) sino la capacidad para poder pensar desde otro lugar.

Ahora, basta de generalidades. Acá va el planteo.

Un comerciante viaja a su trabajo todos los días usando el mismo tren, que sale de la misma estación y que tiene los mismos horarios, tanto de ida como de vuelta.

Para colaborar con él, su mujer lo lleva a la mañana hasta la estación y, luego, lo pasa a buscar a las 5 de la tarde con su coche, de manera tal de ahorrarle un viaje en colectivo.

Para el problema, lo importante es que la mujer lo encuentra todos los días a la misma hora, a las 5 de la tarde, y juntos viajan a su casa.

Un día, el marido termina su trabajo más temprano y toma un viaje previo que lo deposita en la estación a las 4 de la tarde (en lugar de las 5 como es habitual).

Como el día está muy lindo, en lugar de llamar a la mujer para contarle lo que hizo, decide empezar a caminar por la calle que usa ella para ir a buscarlo.

Se encuentran en el trayecto, como él había previsto. El marido se sube al auto y juntos vuelven a su domicilio, al que llegan diez minutos antes de lo habitual.

Si uno supone la situación ideal (e irreal también), de que:

a) la mujer viaja siempre a la misma velocidad,

b) sale siempre a la misma hora de la casa para ir a buscar a su compañero,

c) el hombre se sube al auto en forma instantánea y sin perder el tiempo,

d) nunca aparece nada extraño en el camino, ni semáforos que dilaten o aceleran el tránsito, etc.,

¿puede usted determinar cuánto tiempo caminó el marido cuando ella lo encontró?

Hasta aquí, el planteo. Un par de reflexiones antes de escribir la solución. Como se da cuenta, el problema en sí mismo es una verdadera pavada. La belleza consiste en que no hay que utilizar ninguna herramienta sofisticada, ni ningún recurso extraordinario. Sólo que hay que pensar y, para eso, usted decide cuándo y cómo lo hace. Lo único que le pido es que me crea que vale la pena.

Dicho esto, quiero hacer un par de observaciones. Luego de pensarlo un rato, uno empieza a sospechar que al problema le faltan datos. Por ejemplo, uno cree que le hace falta saber:

a) la velocidad a la que caminaba el marido

b) la velocidad a la que manejaba la mujer

c) la distancia entre el domicilio y la estación

y seguramente habrá más cosas que usted pensó que me olvidé de poner aquí. No. No se necesita más nada. O sea, siga sola/o con lo que tiene, que es suficiente. La única concesión que me tiene que hacer es aceptar que las condiciones son ideales, en el sentido de que el hombre no pierde tiempo cuando sube al auto, que el auto gira en forma instantánea para ir de una dirección a la otra, que la mujer sale siempre a la misma hora para buscar al marido, etc.

Solución

Con los datos que uno tiene, se sabe que la mujer y el marido llegaron a la casa de vuelta diez minutos antes que de costumbre. Esto significa, que la mujer viajó diez minutos menos en el auto, o lo que es lo mismo, cinco minutos menos en el viaje de ida y cinco minutos en el viaje de vuelta.

Dicho esto, ahora podemos (juntos) concluir lo siguiente: el marido caminó 55 minutos desde la estación hasta el lugar en donde encontró a la mujer. ¿Por qué?

La mujer siempre pasa a buscar al marido a las 5 de la tarde. Como tuvo que haber manejado cinco minutos menos al ir, eso significa que lo encontró a las 4.55. De esta forma, al dar la vuelta en ese momento, como también manejará cinco minutos menos al volver, llegarán 10 minutos antes de lo habitual.

Conclusión: el señor caminó 55 minutos.

Como se ve, una vez conocida la solución, el problema en sí mismo es muy fácil. Claro, es muy fácil una vez que uno conoce cómo se resuelve, pero la moraleja que pretendo sacar con este ejemplo es mostrar cómo muchas veces uno mira un problema desde un lugar equivocado, quiere forzar mentalmente que algo pase y, cuando le parece que no le alcanza, protesta porque cree que le faltan datos. Bueno, este ejemplo muestra lo contrario, y una vez más forma parte de la belleza de la matemática, que provee una herramienta para aprender a pensar de una potencia maravillosa.

* Martin Gardner, nació en 1914 en Tulsa, Oklahoma, Estados Unidos. Es uno de los más prolíficos y brillantes escritores y difusores de la matemática creativa que conoció el siglo XX. Su actividad se prolonga aún hoy, a punto de cumplir 93 años. Las columnas que escribió por 25 años en la revista Scientific American se transformaron en un clásico de la literatura dedicada a este campo. Es considerado por una abrumadora mayoría como el verdadero “gurú” de la especialidad.