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Una manera interesante de entrenar el cerebro es enfrentarlo con situaciones a las que no está acostumbrado. Es decir, a pensar algo que lo desafíe. Por supuesto, uno tiene –en general– pereza frente a esto, porque, en definitiva, es una inversión cuya renta es difícil de visualizar hoy. ¿Para qué ocupar el tiempo en algo cuyo beneficio no es tangible? Y uno puede dar muchos argumentos a favor de NO hacerlo.

Pero también, como todo “ahorro” o “inversión”, uno no lo hace tanto pensando en el hoy como en el futuro. De esa forma, uno podría contra-argumentar, diciendo que ese futuro llegará inexorablemente, que más vale estar preparado con las mejores herramientas posibles.

Toda esta introducción tiene como objetivo plantear un desafío. Lo invito a que lea lo que sigue y piense la respuesta. Obviamente no hay ninguna cota de tiempo para hacerlo, sólo que vale la pena conservarlo en la cabeza hasta que uno se sienta seguro con que encontró la solución. Y, en todo caso, después la discutimos.

Lo que sí puedo anticipar son dos cosas:

a) Atenta contra la intuición. Es “casi” seguro que lo primero que se le ocurra como solución, no sea la correcta.

b) Para poder convencerse luego de que la solución que uno pensó inicialmente es equivocada, hay que mirar el problema desde otro lado. Y de eso se trata: de ser capaz de ver las cosas desde otro lugar.

Acá va. Uno tiene tres monedas (digamos de un peso para fijar las ideas), en apariencia iguales. Sin embargo son las tres distintas.

- Una es una moneda común.

- La segunda tiene cara en los dos lados.

- La tercera tiene ceca de los dos lados.

Uno elige (sin mirar) una de las tres y la arroja al aire. Cuando cae, observa que salió cara. La pregunta es: ¿cuál es la probabilidad de que del otro lado haya otra cara?

Antes de escribir la solución, advierta que los datos son las tres monedas distintas, y que al haber elegido una al azar y tirarla al aire, salió cara. Eso es todo. Ahora sí, lo dejo con usted mismo.

Solución

Le cuento lo que pensé yo primero y después me di cuenta de que estaba equivocado. A lo mejor, usted analizó la situación bien de entrada, pero a mí me confundió.

Yo pensé así: al elegir una de las monedas no sabía cuál de ellas era, pero obviamente tenía que ser una de dos: la normal (con una cara y una ceca) o la que tenía dos caras. Eso está claro porque la tercera moneda es la que tiene ceca de los dos lados. Hasta acá, todo bien.

Después pensé: si al tirarla salió cara, puede ser que haya elegido la moneda normal, en cuyo caso del otro lado hay ceca, o bien elegí la moneda en la que hay cara de los dos lados. Por lo tanto, como puede haber sido cualquiera de las dos, y de un lado hay cara y del otro ceca, la probabilidad de que del otro lado sea cara es (1/2), o sea 0,5 o bien, había un 50 por ciento de posibilidades de que así sucediera.

Y con este argumento, me quedaría tranquilo. Sin embargo, había algo que me parecía raro. Lo que me hacía ruido es que como una de las monedas tiene dos caras, estaba usando poco de ese dato. Es decir: lo usé cuando decía que hay dos posibilidades del otro lado: o cara o ceca, y por eso me daba que la probabilidad era 1/2 , pero no usaba lo suficiente que como una de las monedas tiene dos caras, entonces, podría salir cara de dos formas.

Me explico: voy a abreviar con la letra C a las caras y con la letra X a las cecas. Una moneda entonces es:

Moneda 1: C1 X1

Y la otra es:

Moneda 2: C2 C3

(en donde el numerito que figura agregado a cada cara o ceca indica que son todas distintas).

Por lo tanto, ¿qué pudo haber pasado entonces si salió cara?

Podría ser que hubiera elegido la moneda 1 y que hubiera salido entonces C1. En este caso, del otro lado estará la ceca, X1. Pero, también podría haber elegido la moneda 2, y en ese caso pudieron haber sucedido dos cosas. O bien salió la cara C2 (en cuyo caso del otro lado está la cara C3) o bien pudo haber salido la cara C3 y, de esa forma, del otro lado, está la cara C2.

Antes de avanzar, si le parece que no me entendió, vuelva para atrás y lea nuevamente lo que escribí, porque en verdad es lo único que hace que este argumento sea distinto. Es más: es lo que vale del problema. Lo que escribí más arriba es que en realidad las posibilidades de que del otro lado haya cara no son una en dos, como me pareció al principio, sino que son dos en tres. ¿Por qué? Contemos juntos otra vez:

- Si salió C1, del otro lado hay X1

- Si salió C2, del otro lado hay C3

- Si salió C3, del otro lado hay C2.

Como usted se da cuenta entonces, hay ¡dos posibilidades de cara del otro lado! Por lo tanto, la probabilidad de que haya cara del otro lado, es dos tercios y no un medio.

Este problema (o mejor dicho, la solución de este problema) genera controversias, porque uno no quiere ver que el hecho de que una de las monedas tenga dos caras incide en la probabilidad que uno quiere calcular.

Para enfatizar más el argumento, quiero proponer otra solución. Lo que quiero hacer es modelar el problema de distinta manera. ¿Qué quiere decir modelar? Quiere decir que voy a proponer una manera diferente de mirarlo, de manera tal de transformarlo en un problema que en apariencia es distinto, pero cuya solución es más fácil de visualizar.

Lo hago así. Supongamos que voy a tirar un dado común y corriente.

Claramente, la probabilidad de que salga cualquiera de los seis números es la misma: 1/6. Y esto sucede porque hay un solo caso favorable sobre seis posibles. Es decir: si yo le preguntara, ¿cuál es la probabilidad de que al tirar un dado salga el número cinco? Usted contestará: 1/6.

Hasta acá, es todo conocido. Ahora imaginemos que en el dado, en lugar de tener los seis primeros números, uno ubica en sus caras cada uno de los lados de las tres monedas que teníamos recién, respetando que cada moneda figura en los lados opuestos del dado.

¿Qué quiero decir con esto? Quiero decir que en el dado figuran los siguientes lados:

C1, X1, C2, C3, C3, C2

Pero además, con la particularidad de que debajo de C1 está X1, debajo de C2 está C3, y debajo de C3 está C2.

De esa manera, el dado contiene toda la información que teníamos con las monedas. Ahora, volvamos a pensar juntos el problema original de las monedas pero con el modelo de los dados.

Si salió cara, pudo haber salido C1, C2 o C3.

- Si salió C1, del otro lado está X1.

- Si salió C2, del otro lado está C3.

- Si salió C3, del otro lado está C2.

¿Y entonces? ¿Qué dice esto?

Dice que si salió cara la probabilidad de que del otro lado haya una cara es dos en tres, o lo que es lo mismo, 2/3.

¿Se habrá convencido usted ahora? Si no, no importa. Vale la pena seguir peleando contra el problema independientemente de lo que diga yo. Lo único que importa es pensarlo. El resto es irrelevante.