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¿Qué es lo que sabe usted sobre los remates o subastas? Aclaro que yo, muy poco, por no escribir casi nada. Sin embargo, hay por lo menos dos tipos que me parecen clásicos o al menos, los más conocidos. Para fijar las ideas, supongamos que se va a rematar un cuadro.

En el primer caso, los interesados se reúnen en algún recinto, se establece una base, o sea, una suerte de precio mínimo, y a partir de allí los presentes van haciendo sus ofertas (en general a “viva voz”) hasta que el rematador –quien es el que dirige el evento– advierte que ya no hay lugar para más incrementos y lo da por terminado adjudicando el cuadro a alguno de ellos. Lo que está claro en este tipo de remates es que todos los presentes escuchan las ofertas de todos. En ese sentido, el juego es “abierto”. En todo caso, lo que uno no sabe es cuán profundo es el bolsillo de cada competidor.

También existen subastas a sobre cerrado. Cada interesado escribe una cantidad de dinero que representa su oferta por el cuadro, la mete un sobre y la envía. Se establece un día para abrir los sobres y listo. Eso sí: la oferta es única. No hay posibilidades de modificarla una vez que se conocen públicamente. Una ventaja posible es que los oferentes no tienen que estar en el mismo lugar ni coincidir temporalmente.

Pero, hay algo extra que no necesariamente es visible: ¿cuál es la mejor estrategia que puede elegir una persona interesada si quiere optimizar sus chances de conseguir el cuadro? Quiero mostrar cómo la matemática en general y la Teoría de Juegos en particular tienen cosas para aportar.

Supongamos que es usted el interesado en el cuadro que se va a rematar y está a punto de escribir su oferta en un papel, ponerla en un sobre y enviarlo. Usted estuvo pensando un tiempo y llegó a la conclusión de que el valor del cuadro –para usted– es mil pesos (por poner un valor ficticio cualquiera). Es el número que lo hace sentir cómodo y no quiere pagar más de mil pesos para obtenerlo.

Llegado a este punto entonces, ¿qué le conviene hacer? ¿Le conviene escribir mil pesos, ofrecer más u ofrecer menos?

Acompáñeme por acá y verá que sucede algo curioso y, sin embargo, muy común: uno está tentado en no escribir el número que cree que vale el cuadro (los mil pesos). ¿Por qué? Fíjese lo que podría pasar. Suponga que usted escribió mil pesos. Llega el día que se abren los sobres. Si usted pierde, no hay nada para decir: estaba dentro de las reglas del juego. Cada uno hacía su oferta y como usted no estaba dispuesto a ofrecer más que mil, perdió y se terminó. En todo caso, tuvo que ver con su decisión de establecer mil como el mayor precio que estaba dispuesto a pagar y había otra persona que estaba dispuesta a pagar más. No hay nada para protestar.

Sin embargo, supongamos que usted ofreció mil pesos y terminó ganando la subasta. En este caso, cuando se abrieron los sobres, usted pudo ver lo que habían ofrecido los otros, muy en particular cuál fue la segunda oferta. Eso le da tiempo para pensar: “¡Qué tonto! Podría haber ofrecido $900 y me quedaba con el cuadro igual”. Y ni hablar si el segundo número ofrecido fue de (digamos) $500. En este caso sería aún peor: usted terminó pagando el doble de lo que hubiera necesitado escribir. Habría bastado que pusiera $501 y el cuadro sería suyo.

Por lo tanto, cuando uno escribe el número que está dispuesto a pagar por el cuadro y cierra el sobre, en realidad, tiene que formar parte de su estrategia tratar de “adivinar” o “estimar” cuánto estarán dispuestos a pagar todos sus competidores (que usualmente uno ni siquiera sabe quiénes son) y, después, escribir un número que sea ligeramente mayor que todos ellos. La moraleja es que uno no termina escribiendo el verdadero valor que está dispuesto a pagar sino un número que cree que será superior a la mayor oferta que hagan los otros.

Y aquí ha llegado el punto en el que yo quiero mostrarle una nueva variante, totalmente diferente e impensada: un cambio en las reglas. Como antes, todos los oferentes escriben el número que están dispuestos a pagar por el cuadro, pero el día en que se abren los sobres vuelve a ganar quien hizo la oferta mayor pero paga lo que ofreció el segundo. Lea de nuevo lo que acabo de escribir: el ganador sigue siendo el mismo (el que ofreció más), pero la diferencia es que en lugar de pagar lo que ella (o él) escribió, paga el número que escribió quien hizo la segunda mejor oferta.

¿Interesante, no? ¿La/lo descoloqué? Al menos eso fue lo que me pasó a mí cuando leí sobre este tipo de subastas: me sorprendió. Debo confesar que salvo en fiestas familiares o reuniones sociales en donde aparecieron subastas o remates como variantes de algún juego, no recuerdo haber participado activamente (o como actor) de ningún remate. Sin embargo, siempre me atrapó la lógica que subyace detrás de este tipo de transacciones.

Pero, para variar, me desvié. Las preguntas naturales que me surgieron (y supongo que a usted también) son: ¿Y en qué mejora esto? Al utilizar estas reglas, ¿cómo se contribuye a sincerar el procedimiento? Veamos.

Supongamos que es usted quien está interesado en el cuadro. Mi propósito ahora es tratar de convencerla/o es que, en este nuevo contexto, la mejor estrategia para que usted pueda obtener el cuadro es escribir en el papel que va a poner en el sobre... el valor que usted cree que el cuadro vale, y no como hizo antes en donde usted tenía que incluir en sus consideraciones lo que podrían estar pensando sus competidores. Es decir, lo que a usted le conviene hacer es poner el número mil: ¡ni más, ni menos! ¿Por qué?

Analicemos los dos casos posibles:

a) Hay por lo menos una oferta por más de mil pesos.

b) Todos los demás ofrecieron menos que mil pesos.

a) Si alguno (basta con uno solo) ofreció más de mil, seguro que usted no va a ganar la subasta, pero también es seguro que quien la gane tendrá que pagar por lo menos mil pesos para llevarse el cuadro. Pagará mil, si la suya es la segunda mejor oferta. Si no, pagará más.

b) Si todos los demás ofrecieron menos que mil, usted ganará la subasta y pagará lo que ofreció el segundo en la lista, que tuvo que haber sido menos que mil pesos, que es lo que usted estaba dispuesto a pagar.

Con este ejemplo sencillo, hemos descubierto que la mejor estrategia en este tipo de subastas es ofrecer el número que uno cree que vale el objeto que se remata. Si todos los oferentes usaran esta lógica, el cuadro se lo va a llevar el que estaba –genuinamente– dispuesto a pagar más entre todos los oferentes, independientemente de la valuación de los otros y pagará igual o menos de lo que estaba dispuesto a pagar. En algún sentido, es lo máximo a lo que uno puede aspirar, ¿no es así?

Un poco de historia

Este tipo de estrategias se le atribuyen a William Vickrey, profesor de economía de la Universidad de Columbia, Nueva York. En el año 1961, Vickrey condensó todo el material sobre subastas en el que había estado trabajando y lo publicó en un artículo que apareció en The Journal of Finance[1].

Sin embargo, no fue Vickrey quien inventó el procedimiento que lleva su nombre. El primer registro que se conoce de que “el que mayor oferta hace, gana, pero paga lo que ofreció el segundo” data de fines del siglo XIX (en 1893, para ser más precisos). En ese momento, los coleccionistas de estampillas vendían todo o parte de lo que habían acumulado durante años en remates muy concurridos, pero resultaba muy impráctico, además de muy caro, trasladarse desde Estados Unidos a Europa (y viceversa), y ni hablar desde Sudamérica o Asia. Enviar sobres lacrados con ofertas se transformó en un proceso expandido para la época y el estudio de sus diferentes variantes tuvo ocupados a los matemáticos (y economistas), quienes no tenían todavía el sustento teórico que hoy ofrece la Teoría de Juegos y en particular, la Teoría de Subastas[2].

Variantes de este tipo de subasta son utilizados hoy por Google (para sus avisos), por eBay (muy popular en el Hemisferio Norte) y también por Alibabá, su equivalente asiático.

No se me escapa que el sistema tiene vulnerabilidades más o menos evidentes: algunas personas podrían ponerse de acuerdo en lo que van a escribir en los sobres y acordar de antemano quién va “a ganar”, o bien podría haber alguna persona que utilice diferentes nombres (o “testaferros”) para modificar los resultados y modificar el resultado también, pero este tipo de irregularidades son habituales o frecuentes en subastas de otros tipos también, o sea, si alguien está interesado en hacer fraude, la metodología aplicada no lo va a detener.

En todo caso, mi objetivo es mostrar cómo la matemática en general, la Teoría de Juegos en particular y la Teoría de Subastas en forma aún más específica, ofrece herramientas para resolver problemas que se plantean en la vida real. Las deformaciones se analizan en el “aula” (o “diario”) de al lado.

[1] El artículo original se puede leer acá: http://onlinelibrary.wiley.com/doi/10.1111/j.15406261.1961.tb02789.x/full

[2] Más material sobre la teoría de subastas se puede encontrar acá: http://sisbib.unmsm.edu.pe/bibvirtualdata/publicaciones/indata/Vol6_n2/pdf/subastas.pdf y, en muchísimos libros en varios idiomas. En castellano por ejemplo, hay vasta literatura al respecto y en todos los cursos de Teoría de Juegos que se dictan suele haber un capítulo (o una práctica) dedicada a la Teoría de Subastas, de la cual yo soy un total neófito.