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El siguiente problema es uno de los más conocidos en el ámbito de las empresas que buscan empleados calificados. De hecho, hace mucho tiempo que se dice que la empresa Microsoft fue la primera en proponerlo. No importa. Sea así o no, ahora forma parte del saber popular.

Eso sí, me gustaría poder encontrar alguna forma de convencerla/o de que no mire la respuesta antes de haber pensado un rato y haberle dedicado un mínimo esfuerzo a la elaboración. Es que ¿cuántas oportunidades tiene usted en la vida de que le pidan que planifique una estrategia para resolver un problema? Más aún: si después de haber pensado mucho su respuesta no es la óptima, ¿entonces, qué?, ¿se le caen los anillos?, ¿es peor persona?, ¿es acaso una frustración sin consuelo?

No, en todo caso, lo único que significa es que usted pensó un rato algo distinto, se entretuvo y encima pudo darse el gusto de elaborar o diseñar un modelo para resolver un problema. ¿Significa además que usted está en condiciones de aspirar a un cargo en Microsoft o en una empresa equivalente? Posiblemente no, pero tampoco significaría que usted se quedaría afuera si no lo resuelve. Es, ni más ni menos, que una buena oportunidad para pensar.

Acá va. Se tienen 100 bolitas, 50 rojas, 50 azules y dos frascos opacos (es decir, no se puede ver lo que hay en el interior). Y digamos que tampoco se puede decidir nada por el peso de cada uno. Hay que dividir las bolitas en los dos frascos ¡de cualquier forma que usted quiera! pero con la condición de que toda bolita, tiene que estar en alguno de los dos frascos. No se pueden perder en el camino.

El proceso que vamos a usar es el siguiente: usted distribuye las bolitas en los dos frascos y me los da a mí. Yo no vi lo que usted hizo y tampoco puedo ver lo que hay adentro. Elijo uno de los dos (frascos) en forma arbitraria, lo abro, meto la mano y sin mirar selecciono una bolita.

Lo que sigue es lo que usted tiene que elaborar:

¿Qué estrategia puede diseñar usted para que la probabilidad de que yo saque una bolita roja sea máxima?

O sea, usted tiene que encontrar una forma de distribuir las bolitas en los dos frascos, de manera tal que cuando yo elija una bolita en la forma que describí más arriba, la probabilidad de que sea roja sea la más alta posible.

Ese es todo el problema. Nada más.

Yo lo dejo acá hasta el próximo párrafo, pero no venga conmigo ahora. Hay tiempo. Yo no me voy a ninguna parte, queda todo escrito. Lo que sí le propongo es que lea las subnotas 1 y 2 para poder familiarizarse más con el problema.

Ideas

Algunos casos para considerar juntos. Vea: hay que hacer algunas cuentas porque uno tiene que intentar diferentes distribuciones hasta encontrar cuál es la que le parece óptima. Pero le pido que no se asuste por las fórmulas. No vale la pena que abandone ahora. ¡Son sólo multiplicaciones y sumas! Y si se da por vencida/o acá, se pierde la oportunidad de pensar algo entretenido. Téngame confianza.

Ejemplo 1: Si usted pusiera las 50 bolitas rojas en el frasco 1 y las restantes 50 bolitas (azules) en el frasco 2, ¿cuál es la probabilidad de que yo saque una roja? (ver subnota). La probabilidad se calcula así:

(1/2) * (probabilidad de sacar roja en el frasco 1) + (1/2) * (probabilidad de sacar roja en el frasco 2)

O sea:

(1/2) * (50/50) + (1/2) * (0/50) = ½

¿Entiende por qué? El factor ½ aparece siempre porque eso indica la probabilidad de haber elegido el frasco 1 o el frasco 2.

Por otro lado (50/50) indica que tengo para elegir 50 rojas sobre un total de 50 bolitas, y el número (0/50) marca que no hay bolitas rojas entre las 50 que hay en el frasco 2.

Ejemplo 2: Ahora distribuyamos las bolitas por igual en ambos frascos. Es decir, 25 azules y 25 rojas en cada uno. En este caso, la/lo invito a pensar. ¿Qué pasaría?

En este caso, como usted advierte, no importa qué frasco elija (ya que los dos contienen la misma configuración de bolitas). O sea, en este caso, la probabilidad se calcula así:

(1/2) * (25/50) + (1/2) * (25/50) = (1/4) + (1/4) = (1/2)

Una vez más, una vez elegido cualquiera de los dos frascos, tengo 25 posibilidades sobre 50 de sacar una roja.

Ahora bien: como usted advierte, estos dos ejemplos que acabo de escribir, son solamente dos de todas las configuraciones posibles. Y las dos, resultan la misma probabilidad: ½, es decir, un 50%.

Es un buen momento para que usted, con todos los datos que tiene ahora, pueda analizar el problema y establecer una estrategia. Y cuando ya no quiera pensar más, o cuando quiera confrontar con lo que yo escribí, siga en el próximo párrafo. Allí lo espero.

Propuesta

Una última idea para pensar una estrategia. ¿Qué pasaría si yo pusiera 25 bolitas rojas en el frasco 1, y todo el resto de las bolitas en el frasco 2?

Esto significa que si el frasco elegido es el número 1, entonces seguro que la bolita elegida será roja. En cambio, si el frasco elegido es el 2, a diferencia de lo que sucedía antes, ¡ahora aparecen posibilidades de que sea roja también!

En este caso, la probabilidad se calcula así:

(1/2) * (25/25) + (1/2) * (25/75) =

= (1/2) + (1/2) * (1/3) = 2/3 , o sea, aproximadamente un 66,67% de posibilidades. Con esto, hemos mejorado muchísimo el 50% que había en los ejemplos anteriores.

Pero este ejemplo enseña no sólo que uno puede mejorar el 50% de posibilidades que tenía originalmente, sino que también invita a pensar: ¿para qué quiero tener 25 bolitas rojas en el frasco 1? ¿Por qué no dejo menos bolitas rojas en ese frasco? Si disminuyo las bolitas rojas del frasco 1 (pero siempre dejando solamente rojas) y aumento la cantidad de rojas en el frasco 2, entonces, aumento la probabilidad de sacar roja del frasco 2 y no altero la seguridad que tengo de sacar roja del frasco 1.

Y ésta es la última pausa. Lea bien la frase anterior y deduzca usted entonces qué es lo que más conviene hacer.

En realidad, eso da lugar para llegar al... gran final.

Si uno deja ¡solamente una bolita roja! en el frasco 1, y pone las 99 bolitas restantes en el frasco 2..., entonces, ¿qué pasa ahora? ¿Cuál es la probabilidad de sacar una roja?

(1/2) * (1/1) + (1/2) * (49/99) = 0,5 + 0,2474747... = 0,747474...

o lo que es lo mismo, un poco más del 74,74%.

Y ésta es la mejor estrategia posible que se puede encontrar. Claro, faltaría convencerse de eso, pero para eso lo dejo a usted con su propia imaginación.

Lo disfrutable de este ejemplo no es la solución –como casi en la mayoría de los ejemplos– sino que lo atractivo es haber podido pensar una estrategia que sirviera para mejorar lo que había de antemano. Parecía que uno no podía mejorar el 50%. Sin embargo, no sólo no es así, sino que uno finalmente logra casi llegar a un 75 por ciento de posibilidades. Y de eso se trataba. De disfrutar el trayecto y de poder elaborar una estrategia, algo que uno hace constantemente en la vida cotidiana, sólo que no lo advierte. ¿o sí?

Probabilidades

Antes de pensar en el problema propiamente dicho, quiero hacer junto a usted un cálculo que la/lo va a ayudar (creo). Supongamos que hay esta distribución de bolitas:

Frasco 1: 10 rojas y 30 azules.

Frasco 2: 40 rojas y 20 azules.

Probabilidad de sacar roja del frasco 1 = 10/40 (ya que hay 10 rojas, sobre 40 posibles que hay en total).

Probabilidad de sacar roja del frasco 2 = 40/60 (ya que hay 40 rojas sobre 60 que hay en total).

Por otro lado, como las chances de elegir cualquiera de los dos frascos es la misma (50 por ciento en cada caso), en términos de probabilidades eso quiere decir que la probabilidad de elegir el frasco 1 y el frasco 2 es la misma: ½. Ahora bien, con todos estos datos, ¿cuál es la probabilidad total de sacar una bolita roja? Esa probabilidad se calcula así:

(1/2) * (probabilidad de sacar roja del frasco 1) + (1/2) * (probabilidad de sacar roja del frasco 2)

En este caso, es

(1/2) * (10/40) + (1/2) * (40/60) = = (1/2) * (1/4) + (1/2) * (2/3) = 0,45833...

(en donde se combina la probabilidad de elegir cada frasco, con la probabilidad de elegir roja en el frasco elegido).

Un frasco

Fíjese si puede contestar esta pregunta: Si todas las bolitas estuvieran en uno de los dos frascos, digamos el 1, ¿cuál es la probabilidad de sacar una bolita roja? (No se apure. Si contestó ½, la respuesta es equivocada. Piense otra vez.) Es que ½ estaría bien, si hubiera un solo frasco. Entonces sí, las 100 bolitas estarían en el único frasco, y como hay 100 y 50 son rojas, la probabilidad sería ½ (ya que habría 50 chances a favor sobre 100 posibles) ¡Pero, no hay un solo frasco! ¡Hay dos! Entonces, usando lo que figura en la subnota 1, el cálculo que hay que hacer es el siguiente:

(1/2) * (50/100) + (1/2) * 0 = (1/2) * (1/2) + 0 = ¼

O sea, en este resultado (1/4), se advierte la incidencia que tiene que uno no sepa a priori cuál de los dos frascos voy a elegir. Por eso, la probabilidad total de sacar una bolita roja en el caso en que todas estén en el frasco 1 es ¼ y NO ½, como uno podría suponer en principio.