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El 6 de abril de este año (2006), en la contratapa del diario apareció una nota en la que se mostraba cómo hacer para multiplicar dos números sin tener que saber las “tablas”. En realidad, hacen falta tres herramientas: a) saber sumar, b) saber multiplicar por dos y c) saber dividir por 2.

Y la forma de hacerlo, es verdaderamente muy sencilla, y además, divertida.

Desde la aparición del artículo, me propuse tratar de encontrar una manera que permitiera hacer algo parecido pero con la división. Es decir: ¿cómo hacer para dividir dos números, sin tener que aprender primero todas las tablas de multiplicar?

Les planteé el problema que tenía a dos excelentes matemáticos amigos, Pablo Coll y Pablo Milrud, diciéndoles que me sentiría frustrado y pensando que la tarea estaba inconclusa si no podía encontrar cómo dividir. Ellos pensaron, discutieron, me propusieron una forma que peloteamos entre los tres, volvió al campo de ellos y ahora quiero presentar una versión muy buena –encontrada por los dos Pablos que merecen todo el crédito– y que expongo más abajo. Y de paso, estoy seguro que esto servirá de estímulo para los docentes de todo el país que mejorarán lo que voy a presentar, pero tendrán un recurso más en sus manos.

Una vez más, como escribí en el artículo de abril, no se trata de no aprender las tablas. De lo que sí se trata es de discutir si vale la pena someter a los alumnos a la “tortura virtual” de tener que aprender de memoria una cantidad de números a una edad en la que podrían dedicarle ese tiempo y energía a otra cosa, y esperar hasta que la maduración natural les permita deducir a ellos solos qué son las tablas y para qué sirven. Eso sí: como uno no puede (o no quiere) esperar tanto tiempo para aprender a dividir y multiplicar, estos dos artículos ofrecen una manera de solucionar el problema. Debe haber otras mejores y los invito a pensarlas y luego proponerlas.

Allá voy.

Para poder dividir dos números sin tener que saber todas las tablas de multiplicar, repito, hace falta saber sumar, restar y multiplicar por dos. Eso es todo.

Antes de presentar el método, me quiero detener un instante. Le pido que me tenga confianza y que si bien –al principio– puede parecer complicado, es en realidad muchísimo más fácil que dividir en la forma convencional, y aunque sea sólo por eso, porque ofrece una manera alternativa a lo que uno aprendió en la escuela y se corre de lo clásico, vale la pena prestarle atención.

En lugar de entrar en todos los tecnicismos que requeriría un libro de texto o de matemática, voy a mostrar algunos ejemplos con creciente grado de dificultad.

El método consiste en fabricar cuatro columnas de números a partir de los dos números que uno tiene como datos.

Ejemplo 1

Quiero dividir 712 por 31. Escribo primero la primera y cuarta columna y más abajo está la explicación de cómo las obtuve.

La primera columna se obtiene así. Empiezo con el número por el cual queremos dividir. En este caso, el 31. A partir de él, yendo hacia abajo, voy multiplicando por dos en cada paso. ¿Por qué paré en el 496? Porque si multiplico por dos el 496, obtendría un número (992) que es más grande que el 712 (el número que quería dividir originalmente). Justamente, en lugar de poner el 992, pongo el 712.

Es decir, para generar la primera columna, sólo hace falta saber multiplicar por dos, y estar atento para terminar el proceso en el paso anterior a superar al segundo número.

La cuarta columna, se obtiene igual que la primera, pero en lugar de empezar con el 31, empezamos con el número 1. Como se advierte, van apareciendo las distintas potencias del número 2.

Detengo el proceso, en el mismo lugar en donde paraba en la primera columna. Es decir, hasta aquí, todo lo que uno necesita, es saber multiplicar por dos.

¿Cómo se completan las dos columnas del medio? Las escribo y más abajo explico de dónde salieron los números.

En realidad, lo que uno necesita ahora, es saber restar. Empiezo de abajo hacia arriba, restando el número que nos dieron para dividir (712) menos el anteúltimo número de la columna uno (496). Al resultado, lo pongo en la columna dos, y así aparece el número 216.

Ahora, comparo el 216 con el 248. Como no lo podemos restar (porque 216 es menor que 248 y sólo trabajamos con números positivos), entonces, guardamos el 216 en la columna tres.

Ahora, sigo hacia arriba (comparando siempre con la primera columna): como 216 es mayor que 124, entonces los resto. El resultado, 92, va en la segunda columna. Un paso más: como 92 es mayor que 62, entonces los resto nuevamente y tengo el número 30. Otra vez lo pongo en la segunda columna.

Y aquí, como 30 es menor que 31 y por lo tanto, no lo puedo restar, lo vuelvo a poner en la tercera columna.

Ya casi llegamos al final. Si bien falta un sólo paso, convengamos que el proceso –hasta acá– es muy sencillo.

¿Cómo termina? Ahora, todo lo que hay que hacer, es sumar los números de la cuarta columna que tengan un compañero en la segunda. Es decir,

2 + 4 + 16 = 22

Este número es el que estábamos buscando. El resultado al dividir 712 por 31, es 22 y sobra el número 30, que es el que figura en la columna 3 y con el que paré el proceso.

Verifíquelo:

31 x 22 = 682

Como escribí más arriba, el resto es 30. Luego

682 + 30 = 712

Y se terminó. Resumen: se arman cuatro columnas. En la primera y la cuarta se trata de ir multiplicando por dos, empezando en la columna de la izquierda por el número por el que queremos dividir, y en la de la derecha, por el número 1.

Las dos columnas del medio se usan para poner los resultados de las restas que expliqué más arriba. Cuando se puede restar, el número se guarda en la columna dos. Cuando no se puede restar, se pone en la columna tres.

El cociente se obtiene sumando los números de la cuarta columna que tienen un compañero en la segunda. Y el resto, es el número que sobra o bien en la columna dos o en la columna tres.

Ejemplo 2

Queremos dividir 1354 por 129. Escribo la tabla directamente.

El número 322 que figura en la columna 2, resultó de restar (1354 - 1032).

Como 322 es menor que 516, lo tuve que poner en la columna tres.

Como 322 es mayor que 258, los resté y al resultado, 64, lo puse en la columna 2.

Como 64 es menor que 129, entonces lo puse en la columna 3. Y allí terminé de construir la tabla.

Lo único que falta entonces, es calcular el cociente y el resto.

El cociente se obtiene sumando los números de la cuarta columna que tienen compañero en la segunda (o sea, cuando no ha quedado un lugar vacío). Luego, el cociente en este caso es:

2 + 8 = 10

El resto, es el primer número de la columna 3, o sea, 64.

Hemos descubierto entonces, que si uno divide 1354 por 129, el cociente es el número 10 y el resto, es 64. Verifíquelo usted.

Ejemplo 3

Quiero dividir 13275 por 91. Fabrico la tabla como hice en los ejemplos anteriores.

Con esta tabla entonces, conseguimos el cociente y el resto.

El cociente se obtiene sumando los números de la cuarta columna que tengan un compañero en la columna dos. O sea,

1 + 16 + 128 = 145

El resto, se consigue mirando lo que sobró cuando paré el proceso. En este caso, es el número 80.

Verificación:

145 x 91 = 13195

13195 + 80 = 13275

Ultimo ejemplo

Quiero dividir 95837 por 1914. Construyo, entonces, la siguiente tabla:

El número 34589 resultó de restar 95837 menos 61248.

El número 3965 resultó de restar 34589 menos 30624.

Como 3965 es menor que 15312 y que 7656, lo escribí dos veces en la tercera columna.

Recién ahora, como 3965 es mayor que 3828, los puedo restar, y obtengo el número 137.

Como 137 es menor que 1914, entonces, lo dejo en la tercera columna.

El cociente, como hice en todos los otros ejemplos, se consigue sumando los números de la cuarta columna que tienen un compañero en la segunda. En este caso:

2 + 16 + 32 = 50

El resto, es el último número en donde terminó el proceso (que figura o bien en la columna dos o en la tres). En este caso, es 137.

Verificación:

1914 x 50 = 95700

Y por otro lado, agregando el resto,

95700 + 137 = 95837, que era lo que quería comprobar.

Para terminar, un par de observaciones.

a) No expliqué por qué el método funciona porque aquí no tendría el espacio adecuado, pero a aquellos que estén interesados, todo lo que hay que hacer es replicar lo que uno hace cuando efectúa cualquier división común. Este método opera de la misma forma que el que uno conoce desde la escuela primaria, sólo que se usan (encubiertamente) los números binarios.

b) Más allá de que alguien adopte estos métodos para dividir y/o multiplicar sin tener que saber las tablas, lo que pretendo proponer es que hay vías alternativas para hacerlo. Y hace falta explorarlas para que enseñar las operaciones elementales, no sea una tortura para nadie.